La demostración matemática
La demostración matemática
A mi entender, y para andar por casa, existen tres formas de demostración matemática
1.- El concepto formal.
En el seno de un sistema deductivo formal sobre un lenguaje formal y dados unos axiomas y unas reglas de inferencia que son los que conforman el sistema deductivo, una demostración es una colección de fórmulas de L . Cada fórmula no es sino una colección de signos de L con buenas propiedades de conformación. Cada una de ellas o es un axioma o es una consecuencia lógica de un axioma a través de las reglas de inferencia. La última de las fórmulas es el teorema, y el conjunto de todas ellas es la demostración. Pura sintaxis.
Me gustaría que estuvieran de acuerdo conmigo que esto muy poco tiene que ver con la actividad matemática. De hecho, supongo que a cualquier matemático esto le parece horroroso. No por horroroso es menos importante; se trata de la lógica formal. Si bien el quehacer matemático se distingue por su rigor, y esto debe ser incuestionable, ningún matemático trabaja a este nivel cuando demuestra teoremas, a no ser que esté trabajando en lógica formal.
2.- El concepto habitual
Las afirmaciones matemáticas en este sentido no son meramente cadenas de signos desprovistos de sentido y dotados tan sólo de sintaxis. Tienen una semántica y se refieren a objetos que el matemático maneja con naturalidad, sea platónico o no. Todo tiene un sentido y existe un mundo de conceptos rico y variado. Sea éste un mundo pre-existente o inventado es lo de menos en este momento. Ahora no importa si la matemática se inventa o se descubre: importa que estamos hablando del significado de los signos que estamos manejando. No hace falta que exista una equivalencia geométrica, visual y palpable; podemos estar hablando de geometría de superficies, pero también de K-teoría algebraica o de procesos estocásticos. A nadie le es necesario investigar qué regla sintáctica se ha violado para saber que una demostración que implique la racionalidad de pi está mal. Encontraremos un razonamiento de alto nivel erróneo y nos bastará. Lo contrario sería como condenar a un informático a programar con ceros y unos.
3.- Las “otras demostraciones”.
El entrecomillado no es irónico. Lo que sucede es que no encuentro nomenclatura mejor. En principio, una demostración en el sentido 2 debe ser una cadena finita de razonamientos, cada uno de los cuales es evidente y puede ser entendido (en principio) por cualquiera. (Esto último sí va con cierta ironía). Sucede que hoy en día existen demostraciones que no cumplen esta condición, y de esto quería yo hablar.
3.1. Demostraciones inabarcables.
Para empezar, ciertas demostraciones ocupan centenares, si no miles de páginas. El ejemplo típico es la clasificación de los grupos finitos simples . La pléyade de resultados previos imprescindibles para esta clasificación es enorme, y hace imposible su comprensión por parte de un matemático en solitario. Sin embargo, parece ser que cada uno de los resultados anteriores es imprescindible, y poco va a ser lo que se consiga reducir en el futuro. ¿Cada individuo debe hacer un acto de fe respecto a los resultados que no puede abarcar? ¿No son los individuos, sino la comunidad matemática en su conjunto la que tiene la palabra en este caso?
3.2. Demostraciones por verificación.
Otro tipo de demostración, estéticamente horrible es el de las demostraciones por verificación. El ejemplo ad hoc lo tenemos en el famoso Teorema de los cuatro colores . Birkhoff ideó un plan de verificación de un número finito (pero enorme) de configuraciones básicas que fueron examinadas una a una por ordenador. La hasta entonces conjetura de que bastan cuatro colores para colorear un plano de forma que dos regiones adyacentes nunca sean del mismo color había caído. Se había demostrado cierta. Por supuesto, ningún humano puede seguirla. ¿Debe aceptarse como definitiva tal demostración? ¿Nos indica algo sobre las causas por las cuáles la conjetura es cierta?
3.3. La demostración automática de teoremas
Poco hay que añadir aquí para endender de qué se trata. Más bien es una versión del concepto formal de demostración utilizando un sistema experto para general las fórmulas, y sus encadenamientos.
En todo caso, estamos ante nuevas formas de demostración. El que esto escribe, que tiene una opinión al respecto y que es consciente de que las opiniones son como los culos: cada uno tiene el suyo, opina que únicamente obtiene placer cuando se encuentra en el tipo 2. Y según se expone en el inicio de este blog, esto iba a ser un paseo por placer. Por ello, me temo que poco hablaremos de los otros tipos de demostraciones. A no ser que me parezca interesante incidir aún más en este punto.
