Apostando en los exámenes: El Reto con la Soluciòn màs Larga Hasta la Fecha
Apostando en los exámenes: El Reto con la Soluciòn màs Larga Hasta la Fecha
Éste tiene pelos y de los gruesos, sobre todo la demostración, muy larga.
Ahí va a quien se atreva.
En septiembre, Marcos, Luisa y José Ignacio tienen que presentarse a algunos exámenes. No habría sido así si hubieran estudiado, pero se pasaron los días jugándose la paga del fin de semana ajedrez y luego pasa lo que pasa.
Aún así, como gustan de hacer apuestas, deciden que el que más nota saque en cada examen se lleva X puntos; el segundo, Y puntos; y Z puntos para el tercero. X, Y y Z son números enteros mayores que cero, donde X es mayor que Y que a su vez es mayor que Z. Gana el que más puntos tenga.
Al final de los exámenes, en su apuesta particular José Ignacio fue el vencedor con 20 puntos, Marcos consiguió 10 puntos y Luisa, en último lugar, obtuvo 9 puntos. De los tres, José Ignacio fue el segundo que más nota sacó en el examen de Historia.
Conociendo estos antecedentes, ¿quién quedó segundo en el examen de Cálculo?
[Ver solución (¡pero piénsala antes!)]
Eliseo Autor) dijo
Solución:
Apostando en los exámenes: El Reto con la Soluciòn màs Larga Hasta la Fecha
En primer lugar, se calculará el número de exámenes. ¿Cómo? Pues a partir del total de puntos. El número total de éstos es la suma de las puntuaciones de cada uno, es decir: 20 + 10 + 9 = 39.
Eso significa que hay que repartir 39 puntos a partes iguales entre el número de exámenes (N), o sea: 39 = (X + Y + Z) * N.
Dado que 39 sólo es divisible entre 1, 3 y 13 (primos los tres), sólo existen dos posibilidades de descomposición:
[1] ¿39 = 39 * 1?
[2] ¿39 = 13 * 3?
El primero no puede ser, dado que el enunciado habla de, mínimo, dos exámenes (dice que José Ignacio fue el segundo en Historia y pregunta por el examen de Cálculo). Tampoco podrían ser 39 exámenes, porque entonces sólo habría un punto a repartir por cada uno, cuando los puntos son X, Y y Z, todos mayores que cero. por lo tanto, es la segunda hipótesis, es decir 39 = 13 * 3.
La cuestión está ahora en si el número de exámenes es 13 y X + Y + Z es 3, o viceversa. Supóngase este primer caso: X + Y + Z = 3, lo que llevaría a que X = 2, Y = 1 y Z = 0. Pero el enunciado dice que X, Y y Z son enteros diferentes y mayores que cero, luego no es posible que Z = 0. Por ello, X + Y + Z = 13, y el número de exámenes es, definitivamente, tres.
[3] X + Y + Z = 13
[4] X > Y > Z
[5] N = 3
Aprovechando las características dichas de X, Y y Z se puede obtener que:
[6] Z >= 1
[7] Y >= 2
Y sumando ambas…
[8] Z + Y >= 3
Ahora viene un razonamiento algo más complicado: José Ignacio ha sido el mejor puntuado, y es imposible que supere el máximo de puntuación (como mucho, la igualaría, y eso tampoco, ya que quedó segundo en el examen de Historia). Esto significa que:
[9] 3 * X > 20 (el máximo de puntuación es mayor que la puntuación de José Ignacio), o sea…
[10] X > 20 / 3, o sea, redondeando…
[11] X >= 7
Puede apurarse más: no es posible que X sea mayor que 10, porque Z + Y >= 3 (ver fórmula [7]): si fuera mayor que 10, X + Y + Z no podría valer 13 como vale (ver fórmula [3]). Por ello:
[12] 10 >= X >= 7
De igual manera, la mínima puntuación, obtenida por Luisa, no puede ser menor que la suma de las tres menores puntuaciones posibles, lo que implica:
[13] 3 * Z Y > Z
[5] N = 3
[12] 10 >= X >= 7
[15] 1 <= Z <= 3
Un descansito, se respira profundamente y se continúa.
Dado que José Ignacio quedó segundo en, al menos, un examen, seguro que tiene una puntuación Y en la suma. Por tanto, la ecuación que rige los puntos de José Ignacio es:
[16] Y + a + b = 20
Donde a y b pueden ser ambas X, Y o Z. ¿Y por qué tres sumandos? Pues porque hay tres exámenes (ver ecuación [5]), como se obtuvo al principio del todo (39 = 13 * 3).
En este punto se abre un cúmulo de posibilidades: seis, en concreto, que son el número de combinaciones sin repetición de valores de a y b respecto a X, Y y Z. Se comienza, pues con el descarte.
Se planteará primero la opción de que haya quedado segundo en todos los exámenes (si así fuera, aquí se habría acabado el reto, pues ya se habría obtenido la solución a la pregunta de quién quedó segundo en el examen de Cálculo):
[17] ¿Y + Y + Y = 20?
Esto es, obviamente, imposible, dado que 20 / 3 no es un número entero: Y, por definición, debe ser entero mayor que cero.
Descartada esta opción, ¿será posible que José Ignacio no haya quedado primero en ningún examen, es decir, ni a ni b sean X? Si esto fuera así, habría que repartir las tres X entre Marcos y Luisa, por lo que al menos uno de ellos tendría dos X. De esta manera, la mayor puntuación que podría obtener José Ignacio (descartada las tres Y) sería Y + Y + Z, y la menor puntuación posible que tendría aquel otro que tuviera las dos X sería X + X + Z, ¡que, obviamente, es mayor que Y + Y + Z! Si la menor puntuación posible de otro es mayor que la mayor puntuación posible que José Ignacio, sería imposible que éste hubiera sido el que más puntos ha obtenido, por lo que la hipótesis inicial de que José Ignacio no tenga ninguna X entre sus sumandos es falsa.
Después de este algo árido razonamiento, se ha reducido el número de posibilidades a tres: Y + X + Z, Y + Y + X y Y + X + X. Se examinan a continuación:
[18] ¿Y + X + Z = 20?
Esto también es imposible, porque la fórmula [3] ya asegura que X + Y + Z = 13.
Quedan dos.
[19] ¿Y + Y + X = 20?
Esta es algo más enrevesada. Y + Y + X es lo mismo que decir 2 * Y + X. El primer sumando es 2 multiplicado por algo, o sea, que es un número par. 20 también es un número par. Si un número par (2 * Y) sumado a otra cosa (X) da como resultado otro número par (20), significa que esa otra cosa debe ser también par. O sea, X debe ser par.
Por la fórmula [12], los únicos valores pares que puede tomar X son 8 y 10. Si se sustituye esos dos posibles valores en la ecuación [19], queda que Y + Y + 8 = 20, lo que implicaría que Y = 6. Sin embargo, esto no es posible, ya que X + Y + Z = 13, con los tres valores enteros positivos, y por ya sí sólo X + Y sumarían 14 (8 + 6). En la fórmula [19], por tanto, X no puede valer 8. Pero tampoco puede valer 10, por el mismo razonamiento (valdría Y = 5, y la suma de ambas sería 15). Esto implica que la ecuación [19] tampoco es correcta.
Queda entonces una sola hipótesis: X + X + Y = 20, que, por eliminación de las otras, debe ser la correcta.
[20] X + X + Y = 20
En este caso, es Y el valor par. Se concluye fácilmente que los únicos valores que puede tomar Y son 2 y 4 (no puede ser menor y, si fuera 6, X valdría, como mínimo, 7, y 7 + 6 ya son 13).
Probando con Y = 4 (se podría probar con Y = 2, pero se avisa ya de antemano que no es la solución, lo cual se evidencia al tratar de generar las ecuaciones de Marcos y de Luisa; pueden probarlo, si quieren), se obtiene que X = 8. Siendo así, y dado que la suma de los tres es 13, Z debe valer 1.
Las ecuaciones de Marcos y Luisa suman, respectivamente, 10 y 9 puntos. Como el resultado de Luisa es impar, debe tener forzosamente una Z, único resultado impar (no pueden ser las tres Z, o de lo contrario sumaría 3 puntos, y no 9). Eso significa que Marcos tiene las dos Z restantes. Y para que con dos Z (se recuerda que Z = 1) marcos sume 10, el otro sumando debe valer 8, o sea, una X.
Así y definitivamente, las ecuaciones de los tres quedan:
[21] José Luis: X + X + Y = 20
[22] Marcos: X + Z + Z = 10
[23] Luisa: Y + Y + Z = 9
Con X = 8, Y = 4 y Z = 1.
El resultado, por tanto, es que fue Luisa la que quedó segunda en el examen de Cálculo, ya que el único otro segundo fue José Luis, y lo fue en el de Historia, según el enunciado.
Y ahora me voy a meter los dedos en agua.
24 Junio 2006 | 05:09 PM