Descubriendo la Misteriosa Ley de Benford

Descubriendo la Misteriosa Ley de Benford

La ley del primer dígito

La ley del primer dígito, o ley de Benford, supone un fenómeno matemático asombroso en una cualidad común de las series de datos.

Pese a su denominación, dicha ley fue descubierta en 1880 por Newcomb, matemático y astrónomo del siglo XIX. Por entonces, los científicos utilizaban tablas de logaritmos para ayudarse a realizar cálculos complejos de multiplicaciones y divisiones; esto se debe a que los logaritmos cumplen dos útiles propiedades: si se desea multiplicar o dividir dos números, A y B,

A x B = alog( log(A) + log(B) )

y

A / B = alog( log(A) – log(b) )

Esto significa que para multiplicar o dividir dos números, simplemente había que buscar su logaritmo en las tablas, sumar o restar dichos logaritmos y aplicar un antilogaritmo al resultado. Se puede probar en cualquier calculadora.

Al parecer, Newcomb advirtió que las primeras páginas de las tablas de logaritmos de la biblioteca de su facultad estaban mucho más manoseadas que las últimas, es decir, que las consultas de logaritmos de números que comenzaban por 1 ó 2 era sensiblemente mayor que de los que comenzaban por 8 ó por 9, y para cotejar dicho descubrimiento marchó a otras facultades: ingeniería, física, otras de matemáticas, etcétera. El resultado era el mismo.

Newcomb obtuvo de dichas comprobaciones datos una fórmula para la probabilidad de que un número en una serie de datos comience por el dígito d:

P[d] = log(1 + 1/d)

donde log es el logaritmo en base 10. Según dicha fórmula, la probabilidad de que en una serie de muchos datos el primer dígito de un número sea 1, 2, 3… 9 es, aproximadamente el 30%, 17.6%, 12.5%, 9.7%, 7.9%, 6.7%, 5.8%, 5.1% y 4.6%, respectivamente.

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