Dígitos Irrepetibles

Dígitos Irrepetibles

El desafío de una demostración

En vista de que una gran mayoría comenta que los retos de esta bitácora son bastante fáciles, voy a tratar de contentarles con uno algo más complejo; a ver si hay suerte (que comprendan que me esfuerzo).

Supongamos un conjunto de números en la que cada dígito (del 0 al 9) aparece una y sólo una vez y calculemos la suma de todos sus elementos.

Por ejemplo, se me ocurren las siguientes:

[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0]; suman 45.

O también [26, 41, 7, 39, 580]; suman 693.

O también [1, 8, 40, 3, 56, 79, 2]; suman 189.

etcétera.

En cualquier caso y como se ha dicho, cada dígito aparece una y sólo una vez (aparece un sólo 1, un sólo 2, un sólo 3, etcétera).

La pregunta es:

¿existe algún conjunto que cumpla la característica señalada tal que la suma de todos los números sea 100?, y demostrar la respuesta.

usen un poco esa masa gris.

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Solución

Que nadie se dé más cabezazos: no es posible encontrar un conjunto de números en el que cada dígito aparezca una y sólo una vez y cuyos elementos sumen 100.

La demostración, por contradicción, es bastante ingeniosa.

Descompongamos el conjunto completo (llamado T) en un conjunto de unidades (llamado U) y un conjunto de decenas (llamado D).

Así, en el conjunto T = [1, 8, 40, 3, 56, 79, 2], el conjunto D sería [4, 5, 7] (todas las decenas) y el conjunto U sería [1, 8, 0, 3, 6, 9, 2] (todas las unidades).

De esta forma, se puede descomponer la suma de todos los elementos de T con la siguiente fórmula (dónde S(N) representa la suma de todos los números del conjunto N):

[1] S(T) = (S(D) x 10) + S(U)

(Como ejemplo se aplica: S(T) = ((4 + 5 + 7) * 10) + (1 + 8 + 0 + 3 + 6 + 9 + 2) = 189, que es precisamente lo que suman todos los elementos del T del ejemplo).

Asimismo, dado que cada dígito sólo puede aparecer una vez, ya sea en el conjunto D o en el conjunto U, la suma de ambos conjuntos será como sigue:

[2] S(D) + S(U) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45

Tenemos, por tanto las dos fórmulas:

[1] S(T) = (S(D) x 10) + S(U)
[2] S(D) + S(U) = 45

Volviendo al enunciado, queremos encontrar un conjunto T tal que S(T) = 100, por lo que sustituimos S(T) en la fórmula [1], quedando que (S(D) x 10) + S(U) = 100. Si se restan ambas fórmulas queda:

(10 x S(D)) + S(U) - (S(D) + S(U)) = 100 - 45

O sea:

[3] 9 x S(D) = 55

Esto implica que la suma de los elementos del conjunto D es 55 / 9; lamentablemente, de esta división no resulta un valor entero, por lo que es imposible encontrar el conjunto buscado.

servido por Ciudadanodelmundo 2 comentarios compártelo