Perelman:Autobiografía enigmática

Perelman:Autobiografía enigmática

Me permito iniciar este capítulo con un problema que yo imaginé hace tiempo para los lectores de una antigua revista de gran difusión, ( "La naturaleza y los hombres". ) en calidad de "problema con premio". Helo aquí:

En los papeles de un matemático original fue hallada su autobiografía. Esta empezaba con las siguientes líneas:

"Acabé el curso de la universidad a los 44 años de edad. Pasó un año y siendo un joven de 100 años, me casé con una muchacha de 34 años".

"La insignificante diferencia de edades, sólo 11 años- que había entre nosotros, hacía que tuviéramos sueños y aspiraciones comunes. Después de algunos años, ya tenía yo una pequeña familia de 10 niños. Yo obtenía en total, al mes, 200 rublos, de los cuales, 1/10 parte se consagraba a mi hermana, por lo que nosotros y los niños vivíamos con 130 rublos al mes", y así sucesivamente.

¿Qué aclara las extraña contradicciones en los números de este fragmento?

La resolución del problema se sugiere por el nombre de este capítulo: un sistema no decimal de numeración; he aquí la causa singular, de las aparentes contradicciones de los números citados. Procediendo sobre la base de este pensamiento, no es difícil darse cuenta del sistema de numeración en que están representados los números del original matemático. El secreto se releva por la frase: "después de un año (luego de los 44 años de edad) como un hombre joven de 100 años"...; si a partir de la adición de una unidad el número 44 se transforma en 100, significa que la cifra 4 es la mayor en este sistema (como el 9 lo es en el decimal), y por consiguiente, la base del sistema es el 5. Al excéntrico matemático se le ocurrió la fantasía de escribir todos los números de su biografía en el sistema quinario de numeración ( El sistema quinario de numeración tiene cinco cifras básicas (0,1,2,3, y 4) y se caracteriza porque el número 5 es ya un número de dos cifras, que se representa por la unidad en el orden de las "quinarias" y, el cero en el orden de las unidades, (N. del T.) ), es decir, aquel en el cual la unidad de un orden superior no es 10 veces, sino 5 veces mayor que la unidad de un orden inmediato inferior: en el primer lugar de la derecha se hallan, en él, las unidades simples (no mayores que el cuatro), en el segundo, no las decenas, sino las "quinarias"; en el tercero no las centenas, sino las "vigesimoquinarias" y así sucesivamente. Por tal razón, el número "44" representado en el texto de la escritura denota, no 4 x 10 + 4, como en el sistema decimal sino 4 x 5 + 4, es decir, veinticuatro. En la misma forma, el número "100" en la autobiografía representa una unidad de tercer orden en el sistema quinario, es decir, 25. Los restantes números de la escritura denotan correspondientemente:

"34"
"11"
"200"
"10"
"1/10"
"1.130" = 3 ´ 5 + 4
= 5 + 1
= 2 ´ 25
= 5
= 1/5
= 25 + 3 ´ 5 = 19
= 6
= 50
= 5
= 1/5
= 40

Restituyendo el significado verdadero de los números de la escritura, vemos que en ellos no existen contradicciones de ningún tipo.

"Acabé mis estudios en la universidad a los 24 años. Después de un año, siendo un joven de 25 años, me casé con una muchacha de 19 años. La insignificante diferencia de edades, 6 años, que había entre nosotros, hacía que tuviéramos sueños y aspiraciones comunes. Después de algunos años, ya tenía yo una pequeña familia de 5 niños. De salario percibía en total, al mes, 50 rublos, de los cuales 1/5 parte la empleaba mi hermana, por lo que nosotros y los niños vivíamos con 40 rublos al mes".

¿Es difícil representar los números en otros sistemas de numeración? En absoluto. Supongamos que se desea representar el número 119 en el sistema quinario. Se divide 119 entre 5, para saber cuántas unidades de primer orden caben en él:

119 : 5 = 23, residuo 4.

Lo que significa que el número de unidades simples será 4. Además, 23 "quinarias" no pueden estar totalmente en el segundo orden, puesto que la cifra mayor en el sistema quinario es el cuatro, y unidades más grandes que cuatro no pueden existir en un solo orden. Luego, dividamos 23 entre 5:

23 : 5 = 4, residuo 3.

Esto muestra que en el segundo orden ("de los cincos") estará la cifra 3, y en el tercero ("de los veinticincos") el 4.

Así, 119 = 4 ´ 25 + 3 ´ 5 + 4, o, en el sistema quinario "434".

Las operaciones realizadas, para comodidad, se disponen en la forma siguiente:

Las cifras en negritas (en la escritura se las puede subrayar) se escriben de derecha a izquierda y, simultáneamente, se obtiene la representación buscada, del número en otro sistema.

Pongamos aún otros ejemplos:

Ejemplo 1: Representar 47 en el sistema ternario.

Resolución:

Respuesta: "1202".

Verificación: 1 ´ 27 + 2 ´ 9 + 0 ´ 3 + 2 = 47.

Ejemplo 2: Representar 200 en el sistema septenario.

Resolución:

Respuesta: "404".

Verificación: 4 ´ 49 + 0 ´ 7 + 4 = 200,

Ejemplo 3: Representar el número 163 en el sistema duodecimal:

Resolución:

Respuesta: "117".

Verificación: 1 ´ 144 + 1 ´ 12 + 7 = 163.

Ahora el lector no tiene dificultad en representar cualquier número en un sistema de numeración deseado. El único obstáculo puede surgir, solamente, a consecuencia de que en ciertos casos no se encontraran notaciones para las cifras. En efecto, en la representación de números en sistemas con una base mayor que diez, por ejemplo, en el duodecimal puede presentar la necesidad en las cifras "diez" y "once". Fácilmente se sale de esta dificultad eligiendo, para las nuevas cifras, cualesquiera signos o letras condicionales, por ejemplo, las letras K y L que se hallan en los lugares 10° y 11° en el alfabeto ruso ( En el alfabeto español, los lugares 10º y 11º estás ocupados por las letras I y J. (N. del T.) ). Así, el número 1579 en el sistema duodecimal ( En el sistema duodecimal las cifras básicas con: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, 9, 10 y 11. Por lo tanto, es necesario introducir dos nuevos símbolos para denotar las "cifras" diez y once. (N. del T). ) se representa en la forma siguiente:

Respuesta: "(10) (11)7", o IJ7 (según el alfabeto castellano).

Verificación: 10 ´ 149 + 11 ´ 12 + 7 = 1579.

* * *
Problema 1: Escribir el número 1926 en el sistema duodecimal.
Resultado Problema 1: "1146";

Problema 2: Escribir el número 273 en el sistema duodecimal.
Resultado Problema 2: "1109"

servido por Ciudadanodelmundo 1 comentario compártelo