Gustavo Mendoza Tlacomulco dijo

Creo que con lo que he aprendido en estos post, hubo un matemático Alemán llamado Gauss y que para este tipo de problemas aportó un método para hacer la suma de una numeración ascendente.

Para calcular la suma de todos los números de núeve dígitos diferentes, únicamente con dígitos del 1 al 9, colocaré la lista de todos los números de 9 dígitos: 111111111,111111112,111111113,...555555554,555555555,555555556,...999999997,999999998, y 999999999.

Ahora debemos agrupar cada uno de los primeros con cada número de los últimos, ejemplo1:

111111111 más 999999999 igual a 1111111110
111111112 más 999999998 igual a 1111111110
...
111111119 más 999999991 igual a 1111111110

Entonces al agrupar los números de forma tal, que vaya el primero con el último, el segundo con el penúltimos y así sucesivamente, donde unicamente el último dígito de cada número adopte valores de 1 a 9, tendremos 9 pares agrupados. Bien, ahora al agrupar los siguientes números: 111111121,111111122, ... , 999999988,999999989 donde varían los últimos dos dígitos de cada cantidad o número, tendremos 63 pares agrupados y la suma de cada par será de 111111110.

Ejemplo2:
111111121 más 999999989 igual a 111111110
111111122 más 999999988 igual a 111111110
....
111111129 más 999999981 igual a 111111110
total 9 pares, luego
111111131 más 999999979 igual a 111111110
...
111111139 más 999999971 igual a 111111110
total 18 pares, luego
111111141 más 999999969 igual a 111111110
...
111111149 más 999999961 igual a 111111110
total 27 pares , ahora hasta
111111191 más 999999919 igual a 111111110
...
111111199 más 999999911 igual a 111111110
total 72 pares (cada par suma 111111110)

Ahora si sumamos los pares que tenemos en este segundo ejemplo con los pares que obtuvimos en el primer ejemplo tendremos un total de 81 pares y eso significa que podemos deducir una fórmula que describe este tipo de agrupaciones. Lo que hemos hecho anteriormente, es agrupar los números de nueve cifras en pares, de tal manera que se coloque el primero con el último de la lista, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente, con la condición de que únicamente exista una variación del uno al nueve por dígito en las últimas dos cifras de cada cantidad, ejemplo 3:

1111111xx más 9999999xx igual a 1111111110, total 81 combinaciones o pares.

La fórmula que podemos deducir de ese tipo de combinaciones es la siguiente: (9) elevado a la 2 igual a 81 y cada par suma 1111111110

Creo que con esta fórmula, será más facil deducir cuantos pares se formarán, si los últimos 8 dígitos de cada número varían del 1 al 9

Nueva agrupación de pares en donde varían las últimas 8 cifras de cada número:

1xxxxxxxx más 9xxxxxxxx suman 1111111110

total de pares (o combinaciones) igual a 43046721 (9 elevado a la 8 igual a 43046721)

JEJEJEJE Es una cantidad muy grande, pero efectivamente es correcta ya que al agrupar los números de 9 dígitos en pares en donde se hagan combianciones de los últimos 8 digitos de cada cantidad, obtendremos que hay 43046721 pares o combinaciones.

Finalmente tenemos que hacer otro tipo de agrupaciones en donde, esta vez, va a variar el primer dígito de cada cantidad, ejemplo4:

1xxxxxxxx más 9xxxxxxxx igual a 1111111110
total de pares igual a 43046721

2xxxxxxxx más 8xxxxxxxx igual a 1111111110
total de pares igual a 43046721

3xxxxxxxx más 7xxxxxxxx igual a 1111111110
total de pares igual a 43046721

4xxxxxxxx más 6xxxxxxxx igual a 1111111110
total de pares igual a 43046721

Hasta este momento tenemos 4x43046721 = 172186884 pares

------------------------------------------------------

nos falta agregar a la suma un grupo de números que empiecen con el dígito 5, es decir, nos falta tomar en cuenta los números que tengan la forma 5xxxxxxxx, donde x va del 1 al 9. Sumaremos los siguientes números: 511111111, 511111112,...555555554,555555555,555555556,... ,599999998, 599999999

Tendremos lo siguiente:
51xxxxxxx con 59xxxxxxx igual a 1111111110
total 9 elevado a la 7 igual a 4782969

52xxxxxxx con 58xxxxxxx igual a 1111111110
total 9 elevado a la 7 igual a 4782969

53xxxxxxx con 57xxxxxxx igual a 1111111110
total 9 elevado a la 7 igual a 4782969

54xxxxxxx con 56xxxxxxx igual a 1111111110
total 9 elevado a la 7 igual a 4782969

Nuevamente en esta parte podemos deducir otra fórmula:
5yxxxxxxx con 5yxxxxxxx igual a 1111111110
total: 4(9^7) igual a 19131876 pares

Ahora si empleamos esta fórmula para todas las demás cifras:

55yxxxxxx con 55yxxxxxx igual a 1111111110
total: 4(9^6) ; donde y en la primera cantidad va de 1 a 4 y en segunda cantidad de 9 a 6.

555yxxxxx con 555yxxxxx igual a 1111111110
total: 4(9^5)

5555yxxxx con 5555yxxxx igual a 1111111110
total: 4(9^4)

55555yxxx con 55555yxxx igual a 1111111110
total: 4(9^3)

555555yxx con 555555yxx igual a 1111111110
total: 4(9^2) pares

5555555yx con 5555555yx igual a 1111111110
total: 4(9^1) pares

55555555y con 55555555y igual a 1111111110
total: 4(9^0) pares

ultima cantidad que no formó ningún par: 555555555

__________________________________________________

De acuerdo a los cálculos anteriormente realizados
podemos afirmar que hay en total:

.............4(9^8) = 172186884 pares
.............4(9^7) = 19131876 pares
.............4(9^6) = 2125764 pares
.............4(9^5) = 236196 pares
.............4(9^4) = 26244 pares
.............4(9^3) = 2916 pares
.............4(9^2) = 324 pares
.............4(9^1) = 36 pares
.............4(9^0) = 4 pares
________________________________________
Total: 193710244 pares más una catidad que no tuevo par la cual es 555555555

si cada par sumaba 1111111110, entonces 1111111110 x 193710244 =
255233604229210840. La cantidad anterior más 555555555 igual a 215233604784766395.

Conclusión: La suma de todos los números de nueve digitos diferentes, que pueden formarse empleando dígitos del 1 al 9, es: 215233604784766395

215233604784766395 es el total de la suma de los numeros que van del 111111111 hasta 999999999.

26 Mayo 2010 | 08:01 AM

Gustavo Mendoza Tlacomulco dijo

Creo que ya cometí un error en mi anterior comentario, olvidé tomar en cuenta que cada número debe tener dígitos diferentes. El enunciado del problemas es el siguiente:

¿Cuál es la suma de todos los números de NUEVE CIFRAS DIFERENTES, que pueden formarse empleando los dígitos siguientes: 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9?

No leí bien el anterior enunciado y eso quiere decir que las siguientes cantidades no son válidas: 111111111, 111121111,112233445. Creo que esos son algunos ejemplos de los números que tienen algunas cifras iguales y para que nuestra percepción del problema se ajuste a las condiciones del mismo, los números que puedan tener 9 dígitos diferentes del 1 al 9 son: 123456789, 234567891, 345678912,...987654321.

CREO QUE MI ANTERIOR COMENTARIO ESTUVO MAL, PIDO UNA DISCULPA. Creo que ahora sí ya entendí el problema.

Lo meditare un poco más................

26 Mayo 2010 | 09:36 AM

Gustavo Mendoza Tlacomulco dijo

JEJEJE ya sé cual es la respuesta. Creo que no estaba tan difícil como parecía.

Primero antes de dar la solución, demostraré que método utlicé.
Imaginemos una cantidad con menos dígitos, y supongamos que tenemos un número con 3 dígitos diferentes y cada dígitos sólo puede tener valores de 1,2 ó 3. Creo que con este ejemplo nos daremos cuenta de que estamos hablando de hacer permutaciones en nuestros dígitos:

primer número:...........123
segundo número:........132
tercer número:............213
cuarto número:...........231
quinto número:...........312
sexto número:............321

De ahí podemos deducir una fórmula y ya que estamos hablando de permutaciones, porque lo único que hicimos anteriormente fue cambiar de lugar cada dígito, la fórmula que se utliza para las permutaciones es la siguiente:

Pn! =1x2x3x4......xn

En este caso muy particular sólo disponemos de tres elementos (3 dígitos diferentes) y entonces el total de permutaciones posibles con esos tres dígitos es de:
P(3) = 1x2x3=6 y eso nos indica que pueden existir 6 números con 3 dígitos distintos. Sin embargo, a nosotros no nos interesa saber cuantas permutaciones se puede obtener, lo que nos interesa es cuál es el total al sumar los números de esas permutaciones. Para calcular el total de la suma de tres números con 3 dígitos distintos, donde cada digito puede adoptar valores del 1,2, ó 3, agruparemos los siguientes números en pares: 123,132,...312,321.

Si juntamos el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente tendremos lo siguiente:

123 más 321 igual a 444
132 más 321 igual a 444
213 más 231 igual a 444
________________________
Los 3 pares suman: 1332

También se pudo calcular de la siguiente manera:
P(3) =1x2x3= 6 y como sabemos que al juntar los números en pares, estos suman 444, tenemos que 6/2 por 444 igual a 1332
---------------------------------------------------------------

Bien ya entendí el problema y ya sé como solucionarlo, ahora volveré a citar el anterior problema:

"Una suma un Poco larga

¿Cuál es la suma de todos los números de nueve cifras diferentes, que pueden formarse empleando los dígitos siguientes: 1,2,3,4,5,6,7,8 y 9?"

Si númeramos todos los números con 9 dígitos distintos, en donde cada digito puede tener valores del 1 al 9 únicamente, tendremos la siguiente lista:

123456789, 123456798................987654312, 987654321

Ahora si agruparamos todos los números de la lista anterior en pares, el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente, tendríamos:

123456789 más 987654321 igual a 1111111110

En total tendríamos:
P(9) = 1x2x3x4x5x6x7x8x9=362880 permutaciones posibles

pares de números igual a 181440 (362880 entre 2 igual a 181440)

Si sabemos que la suma de cada par de números nos da 1111111110, y eso lo multiplicamos por el total de pares de números que se pueden formar, tenemos lo siguiente: 1111111110 x 181440 = 201599999798400

______________________________________________________

CONCLUSIÓN: ´Si sumamos todos los números de nueve dígitos distintos, dode cada dígito puede tener un valor del 1 al 9, la suma o total de todos los números de 9 dígitos será: 201599999798400

TOTAL: 201599999798400

27 Mayo 2010 | 01:31 AM

Ciudadanodelmundo dijo

Para Gustavo Mendoza Tlacomulco:

Respetado lector, este problema es muy fácil, la verdad sea dicha en máximo 5 minutos se resuelve, para lograrlo es pre-requisito esencial conocer la arquitectura del sistema decimal que usamos cotidianamente.

Ahora bien e independientemente que la solución que usted presentó esté mal o bien es irrelevante, toda vez que lo que en verdad nos interesa es el raciocinio que se siguió para llegar al resultado final.

Debo decir que su argumentación sino está bien del todo, tampoco está mal, ya que el real método numérico (que yo conozco) es mucho más sencillo, simplificado, sintetizado, refinado y entendible y comprensible.

Debo aclarar que debo hacer la salvedad a su favor como en una especia de crítica positiva que la forma como usted explicó la forma de hacerlo me pareció en mi entender un tanto singular, ya que el mecanismo me pareció curioso, ameno, entretenido e interesante ya que aunque en su primer y extenso comentario donde usted intentaba explicar la eventual solución al problema planteado expuso extensamente el mecanismo y luego de dar una kilométrica explicación divagó un poco, y se equivocó en su apreciación, casi no pude entender a donde quería llegar con todo eso.

En el segundo comentario desaceleró un poco y cambió ligeramente el enfoque con que había abordado el problema planteado en este post y tuvo que reconsiderar que tenía algunas incongruencias numéricas con lo explicado en el primer comentario.

En su tercer y último comentario presentó una respuesta que a mi modo de ver tiene un leve defecto en su presentación final (la expansión decimal no es la más adecuada ni recomendada) ya que no le puso los puntos(o separó) entre cada conjunto de tres cifras como usualmente se hace para poderla leer más fácilmente.

Sin embargo es loable y meritorio que haya sido usted el único lector que se le ha medido al reto de intentar solucionar un problema que por mucho consume 5 minutos pero que lleva ya más de 3 años sin que nadie haya aceptado el desafío de abordarlo.

Voy a dejar unos días de tiempo prudencial a ver si otro lector contribuye en explicar mejor el método, y hago la solemne promesa que en poco tiempo publicaré no tanto la solución ( que es lo de menos) sino el mecanismo simplificado más breve para lograrlo.

Como adelanto de mi promesa les dejo la expansión alfabética del número final en cuestión (en inglés):

Two hundred one trillion, five hundred ninety nine billion, nine hundred ninety nine million, seven hundred ninety eight thousand, four hundred

Un saludo

28 Mayo 2010 | 01:04 AM

Ciudadanodelmundo dijo

Para Gustavo Mendoza Tlacomulco:

Respetado lector, como sé que le encantan los acertijos de índole matemática lo reto y desafío a intentar solucionar uno del los 10 problemas que en su tiempo publiqué bajo el titulo temático de ”El acertijo del número de 10 cifras”, fueron 10 capítulos de la serie, algunos ya fueron resueltos otros no, le dejo el enlace de uno de los que aun están sin solución a la vista:

http://ciudadanodelmundo.espacioblog.com/post/2007/06/28/el-acert...-

Este acertijo va a cumplir en poco tiempo sus tres años de estar publicado y nadie ha osado y siquiera intentado analizarlo.

Si quiere buscar los demás acertijos de la misma serie puede hacerlo en el “buscador”, en la sección “archivos” o en su respectiva categoría, le aseguro que tendrá mucha entretención matemática.

Un saludo.

28 Mayo 2010 | 01:33 AM

Gustavo Mendoza Tlacomulco dijo

Tienes razón ciudadano del mundo, olvidé al final separar mis cifras para que el resultado pudiera ser fácilmente apreciado por los lectores. Cuando traté de resolver el problema, en ese momento estaba más preocupado por qué el método fuera confiable para llegar al resultado correcto, que en la forma que tendría mi resultado. Sin embargo, si me lo permites, volveré a colocar mi respuesta o resultado de una forma que pueda ser mejor apreciada por todos:

TOTAL: 201,599,999,798,400. La cifra anterior se lee: Doscientos un billones, quinientos noventa y nueve mil novecientos noventa y nueve millones, setecientos noventa y ocho mil cuatrocientos.

En algo debí equivocarme, lo revisaré minuciosamente y gracias por la invitación para el otro acertijo, debo aclarar que no soy muy bueno, pero en estos post que has publicado he aprendido mucho.

Sabes qué ciudadano del mundo, ya sé porque la lectura que diste en inglés es diferente a la lectura que yo tengo, lo que ocurre es que los ingleses no aceptan la idea de que un billon es un millon de millones, para los ingleses, un billon es mil millones, creo que ahí esta la razón por la que tenemos dos cantidades que aparentemente son distintas.

Fuente: http://ar.answers.yahoo.com/question/index?qid=20061003202410AAs9...

28 Mayo 2010 | 03:34 AM