Luis Agustin Cardenas Pena dijo

¿Los primos que lo componen son necesariamente distintos, o es un dato que no se da?

23 Julio 2011 | 02:31 AM

Luis Agustin Cardenas Pena dijo

marce
dian
jes
pep
anit
tatiana
1 y 1 millon
es multiplo de 3
o sea la suma de todas sus cifras es divisible por 3.
su raiz digital es 9.
Si se habla de mitad de cifras, el numero solo puede tener:
2, 4 o 6 cifras, igualmente, como son 6 las personas que dijeron algo de el, sabemos que tiene 6 cifras.

Cubos: restos modulo 3
001 1
008 2
027 0
064 1
125 2
216 0
343 1
512 2
729 0

Los cuadrados solo pueden tener restos modulo 3 uno y cero, se puede demostrar, igual no es necesario para el problema.
Entonces, los cubos con resto uno no sirven, ya que los cubos solo tienen resto 0 y 1, y en total tienen que sumar 3 para poder ser divisibles por 3.
La segunda mitad no puede ser 125, sino seria divisible por 125, y no podria tener 4 primos distintos de factores lo que quede luego de la division por 3

(supongo que son distintos), por el mismo motivo tampoco puede ser 512 ni 216.

Entonces nos queda:
Cubos: restos modulo 3

008 2
027 0
729 0

Al ser de menos de 6 cifras, su mitad es de 3 y solo puede ser:

Cuadrados: restos modulo 3
100 1
121 1
144 0
169 1
196 1
225 0
256 1
289 1
324 0
361 1
400 1
441 0
484 1
529 1
576 0
625 1
676 1
729 0
784 1
841 1
900 0
961 1

Al hablar de las cifras centrales, supongo la cifra central izquierda no puede ser cero, y la derecha tampoco, ya que no serian un numero primo, o tendria

poco sentido decir que esa cifra forma un primo (por dar un ejemplo 07 utilizado como expresion para un primo me sonaria un tanto tramposo, es como decir que

un numero tiene 5 cifras y es 00012).
Eso nos deja:

729 0

121 1
144 0
169 1
196 1
225 0
256 1
289 1
324 0
361 1
441 0
484 1
529 1
576 0
625 1
676 1
729 0
784 1
841 1
961 1

25 combinaciones para usar fuerza bruta.

Intuitivamente (no tengo ninguna razon para creer esto, pero voy a probar y si consigo una solucion y verifica esta resuelto sea verdadero o falso, si no

verifica es que es falso), creo que la raiz numerica de un numero abcdef, es igual a la raiz numerica del resultado de la suma de las raices numericas de abc

y def.
Las raices numericas de los cubos que quedan son:

729 0 9
Y las de los cuadrados:
121 1 4
144 0 9
169 1 7
196 1 7
225 0 9
256 1 4
289 1 1
324 0 9
361 1 1
441 0 9
484 1 7
529 1 7
576 0 9
625 1 4
676 1 1
729 0 9
784 1 1
841 1 4
961 1 7

Nos quedan 8 combinaciones a verificar de raices numericas.
8 y 1, seria 9 la raiz numerica
8 y 4, seria 3 la raiz numerica
8 y 7, seria 6 la raiz numerica
8 y 9, seria 8 la raiz numerica
9 y 1, seria 1 la raiz numerica
9 y 4, seria 4 la raiz numerica
9 y 7, seria 7 la raiz numerica
9 y 9, seria 9 la raiz numerica
Entonces solo nos quedarian los casos de 8 con 4 y de 9 con 9, que son:
144729
225729
324729
441729
576729
729729
Solo 5 combinaciones, suficientes para verificar a mano.
Pero antes, voy a verificar que sus raices numericas sean efectivamente 9 ya que hice un supuesto que no se si es cierto (tengo motivos para creerlo pero me

costaria mucho expresarlo en palabras, para plantearlo seriamente tendria que pensarlo un poco mas y llevarlo a lenguaje matematico y sinceramente es lo que

mas me cuesta hacer, expresar)
144729 es 9
225729 es 9
324729 es 9
441729 es 9
576729 es 9
729729 es 9

En fin
Todos los numeros del medio resultantes son primos, es mas el 17 tambien es primo si se invierte.

Espero no haber realizado ningun supuesto erronéo porque mi solucion no me deja del todo conforme.
Por descarte el unico numero que queda es el 729729
Cuyos factores primos son 3, 7, 11 y 13 (es 3 a la 4ta potencia, o sea 729, por 1001, o sea 729729, repetir el 729, ya que 1001 es 7*11*13).

Pero esperaba que si lo dividia por 3, me de 4 primos elevados a la uno de factores, asi que quizas me equivoque, en fin si esta mal revisare mi planteo y hare menos supuestos.

729729

23 Julio 2011 | 02:41 AM

Luis Agustin Cardenas Pena dijo

Me equivoque, tiene todas las cifras distintas, no es el numero que calcule.
De todas formas saber eso me sirve para poder acotar mejor sin necesidad de mis supuestos (me habia olvidado de ese dato).

23 Julio 2011 | 08:05 AM

Luis Agustin Cardenas Pena dijo

Vuelvo a atacarlo.
Retiro el supuesto de que formar un numero primo no pueda ser de la forma 07, por dar un ejemplo, y algunos otros supuestos erroneos (como que los primos podian estar como maximo elevados a la primera potencia)
Pero ahora que se que no se pueden repetir los digitos me queda:
027
125
216
512
729
Para los cubos.
Y:
169
196
256
289
324
361
529
576
625
729
784
841
961
Para los cuadrados.
En sus respectivas tablas, donde el 2do numero es el resto de su division por 3, y el 3ro su raiz numerica (igual la 3ra

columna por ahora no la pienso usar).

169 1 7
196 1 7
256 1 4
289 1 1
324 0 9
361 1 1
529 1 7
576 0 9
625 1 4
729 0 9
784 1 1
841 1 4
961 1 7

27 0 9
125 2 8
216 0 9
512 2 8
729 0 9

Vamos a probar los que tienen ambos restos por 0, para achicar la tabla.
324 no se puede usar ya que todos los numeros con resto 0 tienen un dos asi que repetiria un digito.
Con 729 sucede lo mismo (hablo del 729 que es 27*27, cuadrado, no el que es 9*9*9 el cubo).

169 1 7
196 1 7
256 1 4
289 1 1
361 1 1
529 1 7
576 0 9
625 1 4
784 1 1
841 1 4
961 1 7

27 0 9
125 2 8
216 0 9
512 2 8
729 0 9

Por cuestiones de incompatibilidad por repeticion del digito dos o siete en los numeros con resto dos en su divison por 3, la tabla se reduce a:
169 1 7
196 1 7
256 1 4
289 1 1
361 1 1
529 1 7
625 1 4
784 1 1
841 1 4
961 1 7

125 2 8
512 2 8

Como 125 y 512 tienen los mismos digitos, con cualquiera de los dos que se mezcle el otro numero no puede tener ni un uno, ni un dos ni un cinco.
Queda:

784 1 1

125 2 8
512 2 8

Se que 45 y 54 no son primos, asi que solo me queda el:
784125

El cual esta compuesto por el 3 al cuadrado, el cinco al cubo, el 17 y el 41 (que curiosamente también es su primo del centro).

23 Julio 2011 | 08:33 AM

Luis Agustin Cardenas Pena dijo

Si, se cumplio mi supuesto de las raices numericas aunque no estoy del todo seguro de que sea cierto.
En fin, el numero que di cumple:
Todas sus cifras son distintas.
Su raiz numerica es 9.
Tiene 6 cifras.
Su primera mitad de cifras (3) son un cuadrado, y su segunda (3) son un cubo, 28*28 y 5*5*5 respectivamente.
Sus dos numeros centrales forman un primo (41).
Es divisible por 3.
Sus factores primos son:
3^2, 5^3, 17 y 41

23 Julio 2011 | 08:37 AM

Luis Agustin Cardenas Pena dijo

Postdata: En donde vivo, la escala de notas es del 1 al 10, asi que las primeras veces que lei estos problemas pense "cuan exigente es la maestra que les pone un cinco... como castigo a pesar de haber participado tan bien en la clase", pero me duro una o dos lecturas de problemas jaja.

23 Julio 2011 | 08:38 AM

Gustavo Mendoza Tlacomulco dijo

Pistas: Número de 1 a 1000000

-Marcelita levantó la manó y contestó: Tiene todas las cifras distintas

-Dianita opinó: La primera mitad del número forma un número cuadrado…

-Jésica contribuyó: La segunda mitad del número forma un número cúbico.

-Pepito comentó: Las dos cifras del medio (centrales) es o forman un número primo.

-Anita para corroborar que era tan lista como decía la maestra rotunda declaró: El número es divisible por 3.

-Tatiana como siempre quería demostrar su fascinación y sus dotes en matemáticas participó: El número definitivamente no es primo, su raíz digital es 9, al dividirlo entre 3 su resultado tampoco es primo, aunque curiosamente son 4 números primos sus factores, y aunque parece algo superfluo la cantidad de dígitos del número es equivalente al número de personas que dijimos algo de él.

__________________________________

PREMISA UNO. Debido a que el número buscado n, se encuentra en el intervalo 1<n<1000>

PREMISA DOS.

a)LA primera mitad del numero "n", es decir, ABC, forma un número cuadrado perfecto. Los números cuadrados perfectos que tienen 3 dígitos distintos son:

13^2 = 169
14^2 = 196

16^2 = 256
17^2 = 289
18^2 = 324
19^2 = 361

22^2 = 484
23^2 = 529
24^2 = 576
25^2 = 625

27^2 = 729
28^2 = 784
29^2 = 841

31^2 = 961

b) La segunda mitad de "n" forma un número cúbico, es decir, DEF puede ser igual a: 125, 216, 343, 512, 729 (exceptuando a 343 ya que deben ser dígitos distintos)

PREMISA TRES.
a) Si el número "n" es divisible por tres, eso significa que A+B+C+D+E+F es igual a un número divisible entre 3.

b) Por otro lado, la raíz digital de "n" es nueve, es decir, raíz de (A+B+C+D+E+F) igual a 9, lo cual viene a respaldar a la premisa tres del inciso "a".

c) "CD" es un número primo. Los número primos de dos digitos conocidos son:

11,13,17,19, 23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,91 y 97.

_______________________

Si mis premisas son correctas, entonces mi conclusión también lo será.

De acuerdo a la premisa uno, la cifra la puedo representar por las literales:
ABCDEF.

De acuerdo a premisa uno y dos, las literales ABCDEF se sustituyen por los siguientes números:

.........ABCDEF
........289125.....Inválido
........484125.....Invalido debido a premisa uno
........784125
........484216.....Inválido
........784216
........484512.....Inválido
........784512
........361729
........484729.....Inválido
........841729

De acuerdo a premisa uno y dos, los números que representan las literales ABCDEF son: 784125, 784216, 784512, 361729 y 841729

DE acuerdo a premisa tres e inciso "c", los números ABCDEF válidos son:
784125, 361729 y 841729

De acuerdo a premisa tres e inciso "a" y "b" los números válidos para ABCDEF son:

7+8+4+1+2+5=27 y 7+2=9
3+6+1+7+2+9=28
8+4+1+7+2+9=29

______________________________________________

CONCLUSIÓN FINAL:
De acuerdo a premisa uno, dos y tres, la solución para ABCDEF es
784125

23 Julio 2011 | 11:52 AM

Ciudadanodelmundo dijo

Para Luis Agustín Cárdenas Pena:

Respetado y apreciado Luis; creo que usted en alguna ocasión tuvo la fortuna de ser alumno de la Maestra Rotunda Vinagreti, ya que de forma contundente demostró que es bastante sagaz y avispado toda vez que su última argumentación fue impecable al mismo tiempo que muy curiosa y elegante su amena y didáctica explicación/deducción.

De otra parte y como le había expresado en otro de mis más recientes comentarios su digresión/divagación numérica respecto a la deducción del número me pareció tan curiosa como interesante, yo siempre aprendo algo nuevo cada día, y hoy tampoco fue la excepción.

Ahora bien respondiéndole a una parte de su comentario, aquí en Colombia en algunos colegios gubernamentales y sobre todo a nivel universitario la nota máxima es cinco, la más mala bordea y queda por debajo de tres, de tal suerte que sacar un cinco denota excelencia y una buena aplicación de los logros conseguidos.

En ese mismo orden de ideas mi estimado amigo Luis usted ganó un merecido cinco, ya que basado en las pistas dadas solucionó satisfactoriamente el acertijo, sin olvidar que el supuesto dato superfluo que aportó Tatiana era crucial para determinar dicho número.
Por lo tanto lo declaro el absoluto ganador del mérito de haber resuelto el problema planteado.

Aunque me quedé con las ganas de ofrecer mi explicación respecto al desarrollo del problema, los que quieran comprobar todos los datos con el número que satisface la solución los remito a la excelente explicación que el amigo Luis aportó o la de mi excelso amigo Gustavo Mendoza Tlacomulco que también tiene su mérito por ofrecer otra variante en la resolución, y ahí si como dijo la maestra rotunda ambos estuvieron magníficos.

Un saludo

23 Julio 2011 | 03:27 PM

Ciudadanodelmundo dijo

Para Gustavo Mendoza Tlacomulco:

Apreciado, muy ponderado y nunca olvidado buen amigo Gustavo; veo que sigue inspirado y aunque llegó de segundo a la meta no hay que olvidar que lo que vale es participar y no ganar (irónicamente esto último lo dijo un perdedor).

Pero sin menospreciar su valioso aporte, tengo que aducir a su favor que también me pareció singular su método sobre todo por la forma de atacar y deducir lógicamente el número y le agradezco ante todo el esfuerzo por hacernos partícipes de esta argumentación que dejó en claro que los problemas se pueden resolver de múltiples maneras y llegar a la misma conclusión, esto es esencia es el propósito del problema, que todos nos lucremos intelectualmente ya que el consenso es que aprendamos unos de otros y esto creo que se logró con este acertijo.

Aunque me quedé con las ganas de ofrecer mi explicación respecto al desarrollo del problema, los que quieran comprobar todos los datos con el número que satisface la solución los remito a la excelente explicación que mi avispado, astuto, sagaz buen amigo Gustavo ofreció o la que mi nuevo mejor amigo Luis aportó, juntas tienen un gran valor ya que su mérito es ofrecer otra variante en la resolución, y ahí si como dijo la maestra rotunda ambos estuvieron magníficos.

Un saludo

23 Julio 2011 | 03:45 PM